Intégrabilité et complexité dans les chaînes de spins quantiques

Imaginez une chaîne infinie de particules interagissant entre elles, chaque particule influençant ses voisines par des forces invisibles mais puissantes. Les chaînes de spins quantiques, des systèmes étudiés depuis des décennies, offrent un modèle fascinant pour comprendre la physique quantique, les propriétés de la matière et l’évolution des systèmes complexes. Ces chaînes se trouvent au croisement des théories de l’intégrabilité, un domaine des mathématiques qui étudie les systèmes dynamiques ayant un nombre suffisant de constantes du mouvement pour être résolus exactement, et de la complexité, qui tente de comprendre pourquoi certains systèmes deviennent inextricablement compliqués à analyser ou à simuler.

Dans une chaîne de spins quantiques, chaque site est occupé par une particule avec un "spin" - une propriété intrinsèque liée au moment angulaire de la particule. À température nulle, ces spins peuvent s'ordonner de manière régulière, produisant des phases de la matière telles que l’antiferromagnétisme ou la superfluidité. Cependant, lorsque l'on augmente la température ou l’on introduit des perturbations extérieures, la situation devient beaucoup plus complexe. Le système peut entrer dans des états non-ordinaires, exhibant des comportements comme l'entrelacement quantique massif, où l’état de chaque particule est intimement lié à celui de ses voisines.

Ce qui rend les chaînes de spins si intéressantes est leur capacité à montrer des transitions entre des régimes intégrables et des régimes chaotiques. Dans un système intégrable, il est possible de prédire exactement le comportement à long terme du système, car les équations gouvernantes admettent des solutions analytiques. Cela contraste fortement avec les systèmes chaotiques, où de petites perturbations peuvent entraîner des différences exponentielles dans l'évolution des spins. Une question cruciale reste : comment et pourquoi ces transitions se produisent-elles dans les chaînes de spins quantiques ?

Prenons l’exemple du modèle de Heisenberg, l'un des plus célèbres dans ce domaine. Ce modèle décrit des particules avec des spins interagissant de manière isotrope, et il est connu pour être exactement résoluble dans certaines conditions, comme en dimension un. Mais que se passe-t-il lorsque l’on introduit des perturbations, comme une anisotropie des interactions ou des termes supplémentaires dans le Hamiltonien (l’opérateur énergie dans la mécanique quantique) ? Le système devient soudainement non-intégrable, et des méthodes numériques sont nécessaires pour comprendre son évolution.

Un aspect fascinant de ces transitions est le lien profond avec la théorie de l'information quantique. En particulier, l'étude de l’entropie d’intrication (une mesure de la complexité de l’entrelacement quantique entre sous-systèmes) permet de quantifier à quel point un système devient difficile à simuler. Lorsque le système est dans un régime intégrable, l’entropie d’intrication croît lentement avec le temps, ce qui signifie que l'on peut suivre son évolution avec des ressources computationnelles relativement modestes. En revanche, dans un régime non-intégrable, cette entropie explose, rendant toute tentative de simulation pratiquement impossible pour des systèmes de grande taille.

Cette distinction entre intégrabilité et complexité est fondamentale pour comprendre non seulement la dynamique quantique, mais aussi des phénomènes tels que la thermalisation dans les systèmes isolés. La question suivante se pose : comment un système quantique fermé, qui conserve son énergie totale, peut-il atteindre un état qui ressemble à un équilibre thermique ? La réponse à cette question a des implications majeures pour notre compréhension des lois fondamentales de la nature, en particulier l’interface entre la mécanique quantique et la thermodynamique.

En résumé, les chaînes de spins quantiques constituent un laboratoire théorique où se confrontent les notions d’intégrabilité et de complexité. Leur étude ouvre des portes vers une meilleure compréhension des transitions entre ordre et chaos dans les systèmes quantiques, ainsi que des mécanismes fondamentaux de l’information et de la thermalisation. Il reste encore de nombreuses questions ouvertes dans ce domaine, notamment en ce qui concerne l'impact de différentes perturbations sur ces systèmes, et la manière dont ces connaissances peuvent être appliquées à des systèmes réels, comme les qubits dans les ordinateurs quantiques ou les matériaux à haute température.