Prix d'ombre en programmation linéaire : Un exemple pratique

En programmation linéaire, le concept de prix d'ombre, également connu sous le nom de prix de dualité ou coût d'opportunité, est crucial pour comprendre la valeur des ressources dans un problème d'optimisation. Cet article explore en profondeur le prix d'ombre à travers un exemple pratique afin d'illustrer son application et son importance dans les décisions de gestion des ressources.

Pour commencer, examinons un problème typique de programmation linéaire où le prix d'ombre joue un rôle essentiel. Supposons que nous ayons une entreprise qui fabrique deux produits, A et B. La fonction objectif est de maximiser le profit total, et les contraintes sont liées aux ressources disponibles, telles que le temps de machine et le nombre d'unités de matière première.

Exemple pratique de problème de programmation linéaire

Imaginons le problème suivant :

Objectif : Maximiser le profit total de la production de produits A et B.

Fonction objectif :
$Z=40A+30B$Z=40A+30B

Contraintes :

1. $2A+4B\le 100$2A+4B≤100 (temps de machine)
2. $3A+2B\le 90$3A+2B≤90 (matière première)
3. $A\ge 0$A≥0
4. $B\ge 0$B≥0

Résolution du problème

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la méthode du simplexe. Supposons que les solutions optimales de ce problème soient $A^{\ast }=20$A∗=20 et $B^{\ast }=10$B∗=10. À cette solution optimale, les contraintes sont :

1. $2\left(20\right)+4\left(10\right)=100$2(20)+4(10)=100 (temps de machine, utilisé entièrement)
2. $3\left(20\right)+2\left(10\right)=70$3(20)+2(10)=70 (matière première, non entièrement utilisée)

Le prix d'ombre des contraintes peut être interprété comme suit :

1. Temps de machine : Comme cette contrainte est saturée (exactement à 100), le prix d'ombre indique combien le profit total augmenterait si nous avions une unité supplémentaire de temps de machine. Si le prix d'ombre est 5, cela signifie qu'un supplément d'une unité de temps de machine augmenterait le profit de 5 unités.

2. Matière première : Ici, la matière première n'est pas entièrement utilisée. Le prix d'ombre pour cette contrainte pourrait être 0, ce qui signifie qu'ajouter plus de matière première n'aurait pas d'impact sur le profit total puisque la contrainte n'est pas active à la solution optimale.

Interprétation des prix d'ombre

Les prix d'ombre nous fournissent des informations cruciales sur la valeur marginale des ressources. Un prix d'ombre élevé pour une contrainte indiquera que cette ressource est très précieuse et que des améliorations dans cette contrainte auront un impact significatif sur le profit total. À l'inverse, un prix d'ombre de zéro suggère que la ressource n'a pas d'impact immédiat sur la solution optimale.

Application des prix d'ombre

Comprendre le prix d'ombre permet aux gestionnaires de prendre des décisions éclairées sur l'allocation des ressources. Par exemple, si une entreprise découvre que le prix d'ombre de la contrainte de temps de machine est élevé, elle pourrait investir dans des machines supplémentaires pour augmenter sa capacité de production et ainsi maximiser les profits.

Tableaux de prix d'ombre

Pour une meilleure compréhension, voici un tableau des prix d'ombre correspondant aux contraintes :

Contrainte	Prix d'ombre
Temps de machine	5
Matière première	0

Conclusion

Le prix d'ombre est un outil puissant en programmation linéaire, permettant d'optimiser l'utilisation des ressources et de maximiser les bénéfices. En utilisant des prix d'ombre pour évaluer la valeur des ressources, les entreprises peuvent mieux comprendre les impacts des variations dans les contraintes et ajuster leurs stratégies en conséquence.