Fonction de coût, fonction de demande et maximisation des bénéfices

La maximisation des bénéfices est l’objectif principal des entreprises, et pour y parvenir, il est crucial de comprendre la relation entre la fonction de coût et la fonction de demande. En utilisant une approche basée sur la fonction de coût et la fonction de demande, les entreprises peuvent optimiser leur production et leurs prix pour maximiser leurs profits. Dans cet article, nous explorerons en détail ces fonctions et comment les utiliser pour atteindre une rentabilité maximale. Nous commencerons par examiner la fonction de coût, ensuite la fonction de demande, et enfin, nous combinerons ces informations pour maximiser les bénéfices.

Fonction de Coût

La fonction de coût est une expression mathématique qui montre comment les coûts totaux d'une entreprise varient en fonction de la quantité de biens ou de services produits. Cette fonction est essentielle pour déterminer le niveau de production optimal. Elle se compose généralement de deux parties : les coûts fixes et les coûts variables.

Coûts fixes : Ce sont des coûts qui ne changent pas avec le niveau de production, comme les loyers, les salaires des employés permanents, et les assurances.

Coûts variables : Ces coûts varient directement avec le niveau de production, tels que les matières premières, l'énergie et les salaires des travailleurs temporaires.

La fonction de coût totale (CT) peut être représentée par la formule suivante : $CT\left(q\right)=CF+CV\left(q\right)$CT(q)=CF+CV(q) où $CF$CF est le coût fixe, $CV\left(q\right)$CV(q) est le coût variable en fonction de la quantité $q$q produite.

Fonction de Demande

La fonction de demande représente la quantité de biens ou de services que les consommateurs sont prêts à acheter à différents niveaux de prix. Elle est généralement décroissante, ce qui signifie qu’à mesure que le prix augmente, la quantité demandée diminue.

La fonction de demande peut être représentée par une équation linéaire : $Q_d\left(p\right)=a-bp$Qd​(p)=a−bp où $Q_d$Qd​ est la quantité demandée, $p$p est le prix, et $a$a et $b$b sont des constantes déterminées par le marché.

Maximisation des Bénéfices

Pour maximiser les bénéfices, il est nécessaire de comprendre comment la fonction de coût et la fonction de demande interagissent. Les bénéfices (B) peuvent être calculés en soustrayant les coûts totaux des revenus totaux : $B=R-CT$B=R−CT où $R$R est le revenu total, calculé comme : $R=p\times Q_d\left(p\right)$R=p×Qd​(p)

En substituant $Q_d\left(p\right)$Qd​(p) dans l’équation du revenu total, nous avons : $R=p\times (a-bp)$R=p×(a−bp)

Les bénéfices peuvent donc être exprimés comme : $B=p\times (a-bp)-(CF+CV(q\left)\right)$B=p×(a−bp)−(CF+CV(q))

Pour maximiser les bénéfices, nous devons prendre la dérivée de cette fonction par rapport au prix $p$p et la mettre égale à zéro pour trouver le prix optimal $p^{\ast }$p∗ : $\frac{dB}{dp}=a-2bp-\frac{d\left(CV\right(q\left)\right)}{dp}=0$dpdB​=a−2bp−dpd(CV(q))​=0

Exemple Numérique

Supposons qu’une entreprise ait des coûts fixes de 1000 €, des coûts variables de 10 € par unité, et que la fonction de demande soit : $Q_d\left(p\right)=500-2p$Qd​(p)=500−2p

Les coûts totaux seraient : $CT=1000+10q$CT=1000+10q

Le revenu total est : $R=p\times (500-2p)$R=p×(500−2p)

Les bénéfices sont donc : $B=p\times (500-2p)-(1000+10\times (500-2p\left)\right)$B=p×(500−2p)−(1000+10×(500−2p)) $B=500p-2p^2-1000-5000+20p$B=500p−2p2−1000−5000+20p $B=-2p^2+520p-6000$B=−2p2+520p−6000

En prenant la dérivée par rapport à $p$p : $\frac{dB}{dp}=-4p+520$dpdB​=−4p+520 En mettant la dérivée égale à zéro : $-4p+520=0$−4p+520=0 $p^{\ast }=130$p∗=130

En utilisant $p^{\ast }$p∗, on peut déterminer la quantité produite et les bénéfices maximisés.

Conclusion

La maximisation des bénéfices nécessite une compréhension approfondie des fonctions de coût et de demande. En utilisant les outils mathématiques et analytiques appropriés, les entreprises peuvent déterminer le prix optimal et la quantité à produire pour atteindre une rentabilité maximale. Cet article a exploré les bases de ces fonctions et leur utilisation pour la maximisation des bénéfices. Pour aller plus loin, il est recommandé d’appliquer ces principes à des scénarios réels et d’adapter les modèles en fonction des spécificités du marché.